2. Sinus, Cosinus, Tangente und die gegenseitigen Verhältnisse Für den Winkel Theta in einem rechtwinkligen Dreieck wie gezeigt, nennen wir die Seiten als: Hypotenuse (die Seite gegenüber dem rechten Winkel) neben (neben der Theta) gegenüber (die Seite am weitesten von dem Winkel) Wir definieren die drei trigonometrischen Verhältnisse Sinus Theta. Cosinus theta Und tangent theta wie folgt (wir schreiben normalerweise diese in die verkürzten Formen sin theta. cos theta und tan theta): Lesen Sie weiter unten 8681 Um sich daran zu erinnern, verwenden viele Leute SOH CAH TOA, das heißt: Die reziproken trigonometrischen Verhältnisse Oft ist es Nützlich, um die reziproken Verhältnisse zu verwenden, je nach Problem. (In einfachem Englisch wird der Kehrwert einer Fraktion gefunden, indem man den Bruch auf den Kopf stellt.) Cosecant Theta ist der Kehrwert des Sinus Theta, Sekunde Theta ist der Kehrwert des Kosinus Theta, und Cotangent Theta ist der Kehrwert der Tangente Theta Wir schreiben normalerweise Diese als csc theta Sektion Theta und Kinderbett Theta. (In einigen Lehrbüchern wird csc als cosec geschrieben. Gleiches Ding.) Wichtiger Hinweis: Es gibt einen großen Unterschied zwischen csc theta und sin -1 x. Die erste bedeutet 1sin theta. Die zweite besteht darin, einen Winkel zu finden, dessen Sinus x ist. Also auf deinem Rechner, benutze deine Sünde -1 nicht, um csc theta zu finden. Die trigonometrischen Funktionen auf der x-y-Ebene Für einen Winkel in der Standardposition. Wir definieren die trigonometrischen Verhältnisse in Bezug auf x, y und r: Beachten Sie, dass wir immer noch Sünde Theta als opphyp costheta als adjhyp definieren und tan theta als oppadj, aber wir verwenden die spezifischen x-, y - und r-Werte definiert Durch den Punkt (x. Y), dass die Endseite durchläuft. Wir können jeden Punkt auf dieser Linie wählen, natürlich, um unsere Verhältnisse zu definieren. Zu finden r. Wir verwenden das Pythagoras-Theorem, da wir ein rechtwinkliges Dreieck haben: Nicht überraschend sind die reziproken Verhältnisse in ähnlicher Weise in Bezug auf die x-, y - und r-Werte wie folgt definiert: Wir werden einige Beispiele für die Suche nach exakten Werten im nächsten sehen Abschnitt, Werte der trigonometrischen Funktionen raquo .4. Graphs von tan, cot, sec und csc Die Graphen von tan x. Kinderbett x Sec x und csc x sind nicht so häufig wie die Sinus - und Cosinuskurven, die wir in diesem Kapitel früher kennengelernt haben. Allerdings treten sie in Ingenieur - und Wissenschaftsproblemen auf. Sie sind interessante Kurven, weil sie Diskontinuitäten haben. Für bestimmte Werte von x. Die Tangenten-, Kotangens-, Sekanten - und Cosecant-Kurven sind nicht definiert, und so gibt es eine Lücke in der Kurve. Für mehr auf kontinuierliche Funktionen, gehen Sie zu Continuous and Discontinuous Functions in einem früheren Kapitel. Für einige Werte von x. Cos x hat den Wert 0. Beispielsweise gilt x pi2 und x3pi2. Wenn dies geschieht, haben wir 0 im Nenner der Fraktion und das bedeutet, dass es undefiniert ist. So wird es in dieser Funktion ein Zitat in der Funktion geben. Diese Lücke wird als Diskontinuität bezeichnet. Das gleiche passiert mit cot x. Sec x und csc x. Für jeden hat der Nenner den Wert 0 für bestimmte Werte von x. Lesen Sie weiter unten 8681 Die Grafik von y tan x Wie wir oben gesehen haben, bedeutet dies, dass die Funktion eine Diskontinuität hat, wo cos x 0 ist. Das heißt, wenn x irgendwelche der Werte nimmt: Es ist sehr wichtig, diese Werte im Auge zu behalten, wenn Skizzieren dieser Grafik. Beachten Sie, dass es vertikale Asymptoten gibt (die grau gepunkteten Linien), wobei der Nenner von tan x den Wert Null hat. (Eine Asymptote ist eine gerade Linie, die die Kurve näher und näher annähert, ohne sie tatsächlich zu berühren. Sie können in einem späteren Kapitel weitere Beispiele von Asymptoten sehen, Kurve Skizzieren mit Differentiation.) Beachten Sie auch, dass die Grafik von y tan x periodisch ist Mit Periode pi. Dies bedeutet, dass es sich nach jedem pi wiederholt, wenn wir nach rechts auf die Grafik gehen. Die Grafik von y cot x Wir müssen jetzt berücksichtigen, wenn sin x Wert Null hat, denn dies wird bestimmen, wo unsere Asymptoten gehen sollten. Die Funktion hat eine Diskontinuität, wo sin x 0 ist, dh wenn man die Werte von cos x und sin x für verschiedene Werte von x betrachtet, können wir den Graphen von y cot x wie folgt skizzieren. Der Graph von y sec x Wir könnten mühsam einen Tisch mit Millionen von Werten erstellen, oder wir könnten klug arbeiten und uns daran erinnern, dass Wir die Skizze für y cos x kennen und wir können die Skizze für y sec x leicht ableiten, indem wir den Reziprok finden Von jedem y-Wert. (Das heißt, 1 y für jeden Wert von y auf der Kurve y cos x zu finden.) Zum Beispiel (Winkel sind im Bogenmaß): Ich habe einen Wert in der Nähe von pi 2, so dass wir eine Vorstellung davon bekommen konnten, was dort los ist. Wenn cos x sehr klein ist, wird sec x sehr groß sein. Nachdem wir dieses Konzept über den gesamten Bereich der x-Werte angewendet haben, können wir den Graphen von y sec x skizzieren. Zuerst grafisch y cos x und dann y sec x unmittelbar darunter. Vergleichen Sie die y-Werte in jedem der 2 Graphen und versichern Sie sich, dass sie gegenseitig sind. Wir zeichnen vertikale Asymptoten an den Werten, wo y sec x nicht definiert ist. Sie werden feststellen, dass dies die gleichen Asymptoten sind, die wir für y tan x gezeichnet haben. Was nicht überraschend ist, weil sie beide cos x auf der Unterseite der Fraktion haben.
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